人类理解论-第32章
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２数目底情状是相加而成的——我们把这个观念在心中重叠以后，并且把这些重叠又加起来以后，就得到复杂的。。。
数目情状底观念。就如以一加一，我们就得到复杂的“一。。。。
对“观念，又如把十二个单位加起，我们就得到复杂的”一打“观念，至于”二十“
、“百万”
、等等数目观念，亦是相加而成的。
３每一个情状都是厘然各别的——简单的数目情状在一切情状中是最清晰的。一个数目中只要有一个单位底些小变化，就能使那个组合同最相近的数厘然各别，正如和最远的数之互相差别是一样的。二与一之差，正同二百和一之差一样，而且二底观念与三底观念之差，亦正同全地球底体积和一个微虫底体积之差一样。至于在别的简单的情状中，便不如此，因为在别的简单情状中，我们很不容易，甚或不可能，分辨十分邻近而却真有区别的两个观念。因为谁能分别这张纸底白色和其紧相邻近的白色呢？谁能清晰地观念到广袤中的些小增加呢？
４因此在数目方面的解证是最精确的——数目中每一个情状同别的情状，甚至于同最相近的情状，既然都是厘然各别的，因此，我想数目方面的解证比起广袤方面的解证来，纵然不是更为明显、更为精确、至少它们在应用方面，亦是更为普遍，更为确定的。因为数目观念比广袤观念是较为确当、较为分明的。因为在广袤方面，各种增加和相等并不容易观察出来、计算出来，因为在空间方面，我们底思想并不
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能达到最小而不能再进一步的程度——单位；因此，我们并不能发现出些小增加后的数量和比例。可是在数目方面，这些都是很清楚的，因为在数目中，如方才所说，九十一虽比九十只大一点，可是九十一同九十之差，亦正如同九千之差一样。至于在广袤方面则不如此，在这方面，比一呎或一吋略大些许的东西，并不能同一呎或一吋底标准容易分辨出来；而且我们虽然看到两条线相等，而此一条线仍可以比彼一条线大着无数部分。不但如此，我们亦一样不能在直角以下画一个与直角紧相邻接的最大的角子。
５数目必须有名称——我们已经说过，把单位观念重叠一次，把它加在另一个单位上，我们便得到所谓“二”的一个集合观念。人们如果能这样一直进行下去，尽管在他所有的最后的一个集合数目观念上加一个单位，并且给新数以一个新名称，则他们便可以计算并且可以观念到那些单位底互相差别的种种集合体，——只要他能给前后相承的那些数目从一系列名称，并且记得那些观念同其名称。一切计数过程都只是多加一个观念，并且给一个观念所包含的整数以一个新的，独立的名称或标记，使我们借以分别以前或以后的数目，使它同较大或较小的单位总体，有所分划。因此，一个人如能在一上加一，并且在二上加一，如此一直往下计算，并且在每一进步以后，都可以有一个清晰的名称；而且在反面，他又可以在每一集合体上减去一个单位，慢慢亦退回来，则他在自己底方言范围内，便可以得到所有的数目观念；他纵然不能有再多的观念，至少亦能得到那些有名称的数目观念。
因为在人心中，数目底各种简单情状，只是那么多单位底集
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第十六章 数目（Ｎｕｍｂｅｒ）９９１
合体，而且这些单位又没有别的变化，所差异的只在于数目底或多或少，因此，在数目方面，每一种清晰集合体底名称或标记，比在别的方面，似乎更觉要紧。因为要没有这些名称或标记，则我们在计算时，便难以很好地利用各种数目，尤其在集合体是由很多的单位形成时，更其如此。因为这些大数目在相加以后，如果没有一个名称或标记，来分别那些精确的集合体，则它们难免不是一堆纷乱的数目。
６因为这种原故，所以有些美洲人（我前边已经提过）
虽亦能数到二十，而且在别的方面，天才亦还敏捷，可是他们无论如何也不能同我们一样能数到一千，并且对那个数目，有了清晰的观念。因为他们的语言是很贫乏的，只能适用于简单穷枯生活的一些必需品，而且他们既没有贸易同数学，所以亦就没有能表示一千的名称。因此，我们如果同他们谈起那些大数目来，他们就会指着自己底头发，以表示那样大的数目不是他们所能数的。我想他们所以不能数这些大数，正是因为他们缺少相当的名词。陶萍诺堡人（Ｔｏｕｏｕｐｉｎａｍｂｏｓ）
对五个以上的数目亦没有名称；凡遇五个以上的数目，他们就以自己底指头，同在场的别人的指头来表示。就以我们自己来说，我们如果能有适当的名称，来表示那些不常见的数目，则我们亦一定能用言语清晰地数出比寻常大了许多的数目来。可是我们现在的说法，只能往下重复，只能说万万万，因此，我们在以十进法住前计算时，在超过了十八位，或至多二十四位以后，就很容易陷于纷乱。不过要表示各种清晰的名称如何能有助于我们底计算，如何能使我们有了有用的数目观念，则我们可将下边各种数字列出来，作为一个数目
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底标记。
纳尼林奥克梯林塞朴梯林塞克梯林特虑林ＮｏｎｉｌｉｏｎｓＯｃｔｉｌｉｏｎｓＳｅｐｔｉｌｉｏｎｓＳｅｘｔｉｌｉｏｎｓＱｕｉｎｔｒｉｌｉｏｎｓ８５７３２４１６２４８６３４５８９６４３７９１６４２３１４７括特虑林特虑林比林万单位ＱｕａｔｒｉｌｉｏｎｓＴｒｉｌｉｏｎｓＢｉｌｉｏｎｓＭｉｌｉｏｎｓＵｎｉｔｓ２４８１０６２３５４２１２６１７３４３６８１４９６２３１３７在英文中，平常我们称呼这个数目时，只是以万为单位，按照每六位数，把万字重叠起来，叫这个数为万万万万万万万万万。不过要照这样计算，则我们对这个数目很难有任何清晰的观念。至于在给了每六个数字以一个新而有规则的名称以后，这些数目（或者再有较多的数目）是否可以较顺利地较清晰地数出来，它们底观念是否可以较容易地为我们所得到，并且较容易地表示于他人；那我让别人来考究好了。我所以提到这一层，只是要指示出，清晰的名称是计数时所必需的，并不是敢拿出自己新创的名称来。
７儿童们数数目为什么不能再早一点——因此，儿童们往往不能很早就数数目，往往不能一直顺利地进行下去，因为他们或则缺少各种名称来标记数目底各种级数，或则心理官能尚未发展，不能把那些散乱的观念集合成复杂的，把它们排列在有规则的秩序内，并且把它们记住，以供计算之用。
只有在他们得到许多别的观念以后，慢慢地才能数数目，因此，我们常见，他们虽然亦能谈话，守能推理，亦能对各种事物有了明白的观念，可是他们在很晚以后，才会数二十。
因此，人们如果记忆不良，不能记住数目底各种组合，不能记
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第十六章 数目（Ｎｕｍｂｅｒ）１０２
住清晰有叙的各种数目名称，不能记住一长串数目底互相依属关系，则他们一生亦不能有规则地来计算稍大的数目。因为一个人要想数二十，或对于那个数目有任何观念，则他必须知道，以前还有十九个数，而且那些数又按照秩序各各有一个清晰的名称或标记。他如果不知道这一层，则中间会有一个缺口，连串因以破坏，计算的进程便行中断。因此我们如果想计算正确，第一，需要人心仔细分别相差只一单位的（或由加或由减）两个观念；第二、它得记住各种组合底名称或标记，从单位起一直到那个数目，不能有丝毫纷乱，丝毫任意，而且它底记忆必须合于各数相承的精确秩序。在两方面，它如果稍有误失，则数底全部过程因以扰乱，它只能得到扰乱的“杂多”观念，而得不到清晰计算时所必需的那些观念。
８数目可以度量一切能度量的东西——在数目方面，我们还看到，人心在度量一切可度量的东西时，它总是要应用数的。可度量的事物主要的就是扩延和绵延，而且我们底无限观念即在应用于这些事物上时，亦似乎只是无限的数目。
因为永久观念和博大观念，就不过是我们在绵延和扩延两方面所想象的各部分底观念重复相加的结果，而且在这些观念上还附有加不完的数目底无限性。因为人人都看到，在一切观念中，只有数目观念能供给我们那样无穷的数量。人们不论加了多大一个数，而这个大数依然不能损了他底丝毫力量，使他不能再往前加；他依然不能较接近于无穷数目底终点，因为在那里，还剩有无穷可加的数目，正如他原来在这方面就未加过任何数似的。数目底这种无限的增加或可加性（。。。ａｄｉA
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ｂｉｌｉｔｙ）
（如果人们乐用这个字）是人心所能分明见到的，而且我想，我们所以能有最清楚，最明晰的无限观念，就是由于这一点。不过关于这一层，我们可在下章再为详论好了。
第十七章 无限性（Ｉｎｆｉｎｉｔｙ）
１无限底本义原是应用在空间、绵延和数目上的——人们如果想知道，所谓无限观念究竟是什么，则他们顶好来考究人心在什么上边比较直接地把无限性加上去，并且来思考，人心如何能形成那个观念。
在我看来，所谓有限与无限，人心只当它做数量底两种情状，而且它们原来只应用于有部分的事物上，只应用于可以增减的事物上。属于这类的事物，就如前章所考究的空间观念、绵延观念和数目观念；它们都是可以跟着极小分子的增减而增减的。
真的，伟大的上帝虽是万物底源泉，因此，我们不能不相信，他底无限性是不可思议的。不过我们在自己狭窄的思想中，在以无限观念应用在至尊无上的主宰时，我们总是要着眼在他底绵延性和偏在性。
而且我想，他底能力、智慧、善意，以及其他品德，虽亦是无尽的、不可思议的，可是我们在以无限观念应用在它们上边时，多半含有譬喻性质。
因为在我们称它们为无限时，我们底无限观念，同时就使我们反省到、观察到上帝在运用其权力、智慧和善意时，所发生的各种行为同其对象底无限数目和范围；而且这些对象底数目不论如何之大，我们在思想中不论把它们重复到无限的
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第十七章 无限性（Ｉｎｆｉｎｉｔｙ）３０２
程度，而上帝底品德总是可以永远克服它们、超越它们的。
我并不敢妄说，上帝底这些品德究竟是什么样的，因为上帝无限地超出了我们这狭窄的心理能力以外。我们分明知道，上帝底这些品德是完美无缺，普被一切的，不过我可以说，我们只能在这种途径下来存想它们，而且我们对它们底无限性所抱的观念亦就止于如此。
２有限的观念是易于获得的——人心既然认有限的和无限的存在是扩延和绵延底两种变状，因此，我们其次就可以考究，人心如何能得到这些观念。说到有限观念，则没有什么困难。广袤底明显的各部分只要能触动我们底感官，就能在我们心中引生起有限观念来；至于我们在度量时间和绵延时普通所用的联续分段，如时、日、年等等，其长度亦是有限的。我们底困难问题乃是我们如何能得到那些无界限的永久观念和博大观念，因为我们日常所熟悉的各种物体离那种大的限度是远的不成比例的。
３无限底观念是如何得来的——人只要有了一个确定的长度观念——如一呎，——他就会发现，自己能把那个观念重叠起来，而且他在把那个观念加在前一个观念上时，又会形成两呎底观念，而且在加上第三个观念时，又会形成三呎底观念，如是一直可以加到无穷。这种加底单位，不论是一呎观念、二呎观念、或任何长度底观念，如一哩、地球底直径、大躔度底直径等，都可以有相同的现象。因为不论他以那一种为单位，而且不论他二倍或任意加倍那些单位，而他终久会看到，他在思想中这样加倍以后，这样把观念加大以后，他仍然没有理由来停止进行，仍然没有接近了增加底
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终点，仍然同他初出发时一样，而且他仍同以前一样有能力来加大空间观念。无限空间底观念就是由此起的。
４我们底空间观念是无界限�
![[柳文扬] 外祖父悖论封面](http://www.bulamo.com/cover/noimg.jpg)
